二次函數

什麼是二次函數？

形如下式的函數稱為二次函數：

$$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$

它的圖形是一條拋物線。

開口方向

• $a > 0$：開口向上，有最低點。
• $a < 0$：開口向下，有最高點。
• $|a|$ 越大，開口越窄。

頂點與對稱軸

用配方法把式子改寫成 $f(x) = a(x - h)^2 + k$，就能看出：

• 頂點為 $(h, k)$。
• 對稱軸為直線 $x = h$，其中 $h = -\dfrac{b}{2a}$。

範例：$f(x) = x^2 - 4x + 3$

配方：

$$f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 1 = (x - 2)^2 - 1$$

所以頂點為 $(2, -1)$，對稱軸為 $x = 2$；因為 $a = 1 > 0$，開口向上，最小值為 $-1$。

拋物線對稱軸左右兩邊的形狀一樣：例如 $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$ 到對稱軸的距離都是 1。

練習題

1. 求 $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$ 的頂點與對稱軸，並判斷開口方向。
2. 求 $f(x) = x^2 - 6x + 5$ 與 $x$ 軸的交點。

提示： 第 2 題令 $f(x) = 0$，因式分解得 $(x - 1)(x - 5) = 0$。