一次函數

認識一次函數 f(x) = ax + b 的定義、斜率與截距，並學會畫出它的圖形。

更新：2026年9月26日

什麼是一次函數？

當 $y$ 會隨著 $x$ 改變，而且每一個 $x$ 都只對應到一個 $y$ 時，我們說 $y$ 是 $x$ 的函數。形如下式的函數稱為一次函數：

f(x) = ax + b \quad (a \neq 0)

$a$ 稱為斜率，代表 $x$ 每增加 1， $y$ 會增加 $a$ 。
$b$ 稱為 $y$ 截距，也就是圖形與 $y$ 軸的交點 $(0, b)$ 。

斜率的計算

若直線通過兩點 $(x_1, y_1)$ 、 $(x_2, y_2)$ ，則斜率為

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad x_1 \neq x_2

範例：畫出 $f(x) = 2x + 1$

先列出幾個點：

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
$f(x)$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

把點描在坐標平面上再連起來，就得到一條直線：

一次函數 f(x) = 2x + 1 的圖形：通過 (0, 1) 與 (1, 3) 的直線，斜率為 2 — 每一格代表 1 單位；紅點為 y 截距 (0, 1)。

從圖上可以看出： $x$ 每往右 1 格， $y$ 就往上 2 格，所以斜率 $a = 2$ 。

練習題

求通過 $(1, 4)$ 與 $(3, 10)$ 的直線方程式。
若 $f(x) = -3x + 6$ ，求 $f(2)$ 以及圖形與 $x$ 軸的交點。

提示： 第 2 題中，與 $x$ 軸的交點滿足 $f(x) = 0$ ，即 $-3x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ 。