# 二次函數

> 認識二次函數 f(x) = ax² + bx + c 的定義、拋物線的開口方向、頂點與對稱軸。

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更新：2026-10-04

## 什麼是二次函數？

形如下式的函數稱為**二次函數**：

$$
f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
$$

它的圖形是一條**拋物線**。

## 開口方向

- $a > 0$：開口向上，有最低點。
- $a < 0$：開口向下，有最高點。
- $|a|$ 越大，開口越窄。

## 頂點與對稱軸

用配方法把式子改寫成 $f(x) = a(x - h)^2 + k$，就能看出：

- **頂點**為 $(h, k)$。
- **對稱軸**為直線 $x = h$，其中 $h = -\dfrac{b}{2a}$。

## 範例：$f(x) = x^2 - 4x + 3$

配方：

$$
f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 1 = (x - 2)^2 - 1
$$

所以頂點為 $(2, -1)$，對稱軸為 $x = 2$；因為 $a = 1 > 0$，開口向上，最小值為 $-1$。

![二次函數 f(x) = x² − 4x + 3 的圖形：開口向上的拋物線，頂點 (2, −1)，對稱軸 x = 2，與 x 軸交於 (1, 0)、(3, 0)，與 y 軸交於 (0, 3)](https://courses.tw/junior-math/images/quadratic-function-y-x2-minus-4x-plus-3.svg)

*每一格代表 1 單位；紅點為頂點 (2, −1)，虛線為對稱軸 x = 2。*

拋物線對稱軸左右兩邊的形狀一樣：例如 $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$ 到對稱軸的距離都是 1。

## 練習題

1. 求 $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$ 的頂點與對稱軸，並判斷開口方向。
2. 求 $f(x) = x^2 - 6x + 5$ 與 $x$ 軸的交點。

> **提示：** 第 2 題令 $f(x) = 0$，因式分解得 $(x - 1)(x - 5) = 0$。