# 一次函數

> 認識一次函數 f(x) = ax + b 的定義、斜率與截距，並學會畫出它的圖形。

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更新：2026-09-26

## 什麼是一次函數？

當 $y$ 會隨著 $x$ 改變，而且每一個 $x$ 都只對應到一個 $y$ 時，我們說 $y$ 是 $x$ 的**函數**。形如下式的函數稱為**一次函數**：

$$
f(x) = ax + b \quad (a \neq 0)
$$

- $a$ 稱為**斜率**，代表 $x$ 每增加 1，$y$ 會增加 $a$。
- $b$ 稱為 **$y$ 截距**，也就是圖形與 $y$ 軸的交點 $(0, b)$。

## 斜率的計算

若直線通過兩點 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$，則斜率為

$$
a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad x_1 \neq x_2
$$

## 範例：畫出 $f(x) = 2x + 1$

先列出幾個點：

| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $f(x)$ | $-3$ | $-1$ | $1$ | $3$ |

把點描在坐標平面上再連起來，就得到一條直線：

![一次函數 f(x) = 2x + 1 的圖形：通過 (0, 1) 與 (1, 3) 的直線，斜率為 2](https://courses.tw/junior-math/images/linear-function-y-2x-plus-1.svg)

*每一格代表 1 單位；紅點為 y 截距 (0, 1)。*

從圖上可以看出：$x$ 每往右 1 格，$y$ 就往上 2 格，所以斜率 $a = 2$。

## 練習題

1. 求通過 $(1, 4)$ 與 $(3, 10)$ 的直線方程式。
2. 若 $f(x) = -3x + 6$，求 $f(2)$ 以及圖形與 $x$ 軸的交點。

> **提示：** 第 2 題中，與 $x$ 軸的交點滿足 $f(x) = 0$，即 $-3x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2$。